高中--数列极限的定义 有哪些性质

高中课程发布于:2021-09-16

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数列有极限,即当n趋向无穷大时,数列的项Xn无限趋近于或等于a,任意取一个值ε,是表明无论ε是多小的数,Xn与a的差总小于ε,就是Xn无限趋近于或等于a。
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数列极限的定义
数列极限用通俗的语言来说就是:对于数列an,如果它的极限是a,那么,不管给出多小的正数ε,总能找到正整数N,只要数列的下标n>N,就能保证|an-a|<ε。
比如对于这样一个数列
an=n(当n《100时) 或an=1/n (当n>100时)
这个数列的极限是0。当对于任意给定的正数比如1/3,数列下标在1~100时,|an|>ε=1/3,但只要n>N=100,后面的所有项都满足|an|<1/3
从这个意义来说,数列有没有极限,前面的有限项(不管这有限项有多大)不起决定作用。
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数列极限的性质
(1)极限的唯一性
如果数列{xn}收敛,那么数列的极限唯一。
(2)收敛数列的有界性
如果数列{xn}收敛,那么数列一定有界。
(3)收敛数列的保号性
若数列{xn}收敛于a,且a>0, 则存在正整数N,使得当时n>N时,有xn>0。
以上性质中,极限的唯一性和有界性了解即可;极限的保号性用的是最多的,它常与求递推数列的极限、函数的极值点与拐点、连续函数的零点定理等一起应用,也是最容易出错的。